"수학자들도 처음엔 사기인 줄 알았다" 허수(i)의 탄생 비화

요약 우리가 일상에서 쓰는 실수(Real number) 체계에서는 어떤 수를 제곱해도 음수가 나올 수 없습니다. 가령 더해서 10이 되고 곱해서 40이 되는 두 수를 찾으려고 2차 방정식을 풀다 보면, 근의 공식 안에서 루트 안에 음수가 들어가는(-15 등) 계산 불가능한 장벽에 부딪히게 됩니다. 이 모순된 상황을 정면으로 마주한 인물이 바로 16세기 이탈리아의 수학자 지롤라모 카르다노였습니다. 그는 1545년 출간한 명저 『아르스 마그나(Ars Magna)』에서 3차 방정식을 풀던 중 기묘한 현상을 포착했습니다. 답 자체는 분명히 현실에 존재하는 실수인데, 그 답을 구하기 위해 계산을 거치는 중간 과정에서 반드시 음수의 제곱근을 거쳐야만 했던 것입니다. 카르다노는 '불가능한 수'라는 찝찝함을 무릅쓰고 대수학 규칙대로 음수의 제곱근을 곱하고 정리해 보았는데, 놀랍게도 허수 부분이 사라지며 정확한 정답이 도출되었습니다. 하지만 정작 카르다노 본인조차 이를 수학적 원리가 아니라 일종의 '편법적인 눈속임'으로 치부했습니다. 이후 프랑스의 철학자이자 수학자인 르네 데카르트 역시 이 수들을 실체가 없는 헛소리로 보아, '상상 속의 수'라는 조롱의 의미를 담아 '허수(imaginary)'라는 이름을 붙였습니다. 그러나 18세기에 이르러 수학자들은 미적분학과 물리학 곳곳에서 유용한 지름길로 튀어나오는 허수를 더 이상 무시할 수 없었습니다. 오일러가 -1의 제곱근에 기호 'i'를 부여하며 표준 표기법을 정립했고, 19세기 초 장로베르 아르강과 카스파르 베셀이 기하학적 해석을 내놓으면서 의문이 완전히 풀렸습니다. 1차원 수직선에서 -1을 곱하는 것이 180도 회전을 의미하듯, i를 곱하는 것은 1차원 직선을 벗어나 수직인 새로운 차원으로 '90도 회전'하는 기하학적 의미를 갖는다는 사실이 밝혀진 것입니다.