양자역학에서 관측 전 물체의 모든 미래 가능성을 벡터 화살표로 표현하는 추상적인 수학 영역을 '힐베르트 공간'이라 부릅니다.
1920년대 하이젠베르크의 행렬역학과 슈뢰딩거의 파동역학이라는 상반된 두 형태를 천재 수학자 폰 노이만이 힐베르트 공간을 통해 하나로 완벽히 통합했습니다.
관측 전까지 중첩된 채 여러 가능성 사이를 가리키던 화살표 벡터를 통해 전자부터 우주 전체까지 양자 상태를 엄밀하게 기술할 수 있게 되었습니다.
요약 양자역학에서 물체는 관측되기 전까지 특정한 하나의 상태로 고정되어 있지 않고, 여러 가능성이 겹쳐 있는 '양자 중첩' 상태로 존재합니다. 물리학자들은 이처럼 눈앞의 현실 공간을 벗어나 온갖 미래의 가능성들이 펼쳐지는 추상적인 수학적 영역을 '힐베르트 공간(Hilbert space)'이라고 부릅니다. 이곳에서는 물체의 상태가 물리적 위치를 가리키는 것이 아니라 가능성의 방향을 가리키는 '벡터(화살표)'로 표현됩니다.
1920년대 중반, 베르너 하이젠베르크는 방대한 숫자 표를 이용한 '행렬역학'을 내놓았고, 이듬해 에르빈 슈뢰딩거는 파동으로 입자의 위치 확률을 추적하는 '파동역학'을 발표했습니다. 완전히 달라 보였던 두 이론은 신기하게도 동일한 물리적 예측 결과를 냈습니다. 당시 23세의 천재 수학자 존 폰 노이만은 다비트 힐베르트의 공리화 작업에 영감을 받아 1927년 발표한 3편의 논문을 통해 두 체계가 사실상 '힐베르트 공간'이라는 동일한 수학적 무대 위에 선 양자 상태의 서로 다른 표현 방식(마치 0.5와 1/2이 같은 숫자인 것처럼)임을 완벽하게 증명해 냈습니다.
예를 들어 빨강, 노랑, 초록의 세 가지 상태를 지닌 가상의 '양자 신호등'이 있다면, 이는 세 개의 축을 가진 3차원 힐베르트 공간 속 화살표로 나타낼 수 있습니다. 신호등을 관측하기 전까지는 특정 색이 아니라 가능성들이 섞여 있는 중간 영역을 가리키며, 화살표가 빨간색 축에 가까울수록 실제로 관측했을 때 빨간불이 켜질 확률이 높아집니다. 폰 노이만은 전자부터 은하에 이르기까지 모든 계의 양자 상태가 이처럼 힐베르트 공간 속 벡터로 완벽히 기술된다는 근본 규칙을 정립했습니다.