수학 덕후들 설레게 하는 '펜로즈 타일링' 알고리즘 생성 원리 정리

요약 로저 펜로즈가 1970년대에 발견한 '펜로즈 타일링(Penrose tiling)'은 단 두 종류의 도형만을 가지고 평면을 빈틈없이 채우면서도 병진 대칭(주기성)이 나타나지 않는 비주기적 타일링의 대표적인 예시입니다. 펜로즈 타일링에는 P1, P2(연과 다트), P3(마름모) 등의 변형이 존재하는데, 이 중 마름모 두 종류로 평면을 채우는 P3 타일링을 컴퓨터 알고리즘으로 구현하는 흥미로운 방법이 소개되었습니다. 핵심 원리는 수학자 라파엘 로빈슨이 고안한 '로빈슨 삼각형'의 세분화(Subdivision) 규칙을 활용하는 것입니다. 서로 다른 색상과 형태(예각/둔각)를 지닌 4가지 기본 삼각형을 특정 기하학적 규칙에 따라 더 작은 삼각형들로 재귀 분할해 나가는 방식입니다. 이 분할 과정에서 새로 생성되는 꼭짓점들은 황금비(φ)에 해당하는 비율 지점에 위치하게 되는데, 이는 정오각형의 대각선과 변의 비에서 기인하며 펜로즈 타일링 특유의 5회전 대칭성을 만들어냅니다. 재귀 분할을 반복하면 예각 삼각형끼리, 둔각 삼각형끼리 밑변을 맞댄 쌍(Pair) 구조가 자연스럽게 형성되며, 분할이 끝난 뒤 이 쌍들을 서로 결합하면 P3의 붉은색 및 푸른색 마름모 타일링이 완성됩니다. 또한 저자는 이러한 시각적 분할 규칙을 컴퓨터가 다룰 수 있는 엄밀한 수식으로 번역하기 위해 컴퓨터 과학의 '용어 재작성 시스템(Term Rewriting System)' 프레임워크를 적용하여 정형화하는 구체적인 알고리즘 과정을 설명하고 있습니다.