52!(팩토리얼)이 몇 자리 숫자인지 계산기 없이 암산하는 법

요약 어느 날 플레잉 카드 52장을 섞는 모든 경우의 수인 52팩토리얼(52!)의 크기가 문득 궁금해진 한 개발자가, 계산기나 컴퓨터의 도움 없이 암산만으로 팩토리얼의 자릿수를 어림잡아 계산하는 수학적 원리를 정리해 화제가 되었습니다. 작성자가 소개한 핵심 어림 공식은 'n!의 자릿수 ≈ n × log₁₀(n/e) + 2'입니다. 예를 들어 52!을 계산할 경우, 52를 자연상수 e(약 2.7)로 나누면 약 20이 나오고, log₁₀(20)은 약 1.3이므로 공식에 대입하면 '52 × 1.3 + 2 = 약 69'라는 값이 나옵니다. 52!의 실제 자릿수가 68자리라는 점을 감안하면, 손계산이나 암산만으로도 실제 값에 거의 일치하는 놀라운 정확도를 보입니다. 이 간단한 어림식 뒤에는 감마 함수(Gamma function)와 스털링 근사(Stirling's approximation)라는 수학적 기초가 자리 잡고 있습니다. 계승(팩토리얼)을 실수 영역으로 일반화한 감마 함수에 라플라스 방법(Laplace's method)을 적용하면 거대한 팩토리얼을 '√(2πn) × (n/e)ⁿ' 형태로 근사하는 스털링 공식이 유도됩니다. 여기에 상용로그를 취해 정리하면 자릿수를 추정하는 식이 완성됩니다. 작성자는 n이 약 1,600 이하인 범위에서는 앞부분의 항이 보통 2자리 정도만을 보정해 주기 때문에 뒤에 단순히 2를 더하는 것만으로도 대부분의 거대한 팩토리얼 자릿수를 간단히 암산해 낼 수 있다고 설명했습니다.